Sandsynligheden for at rulle et fuldt hus i Yahtzee?

Yahtzee-spillet involverer brug af fem standard terninger. På hver tur får spillerne tre ruller. Efter hver rulle kan et hvilket som helst antal terninger holdes, hvor målet er at opnå særlige kombinationer af disse terninger. Hver anden slags kombination er værd at have en anden mængde point.

En af disse typer kombinationer kaldes et fuldt hus. Ligesom et fuldt hus i poker, inkluderer denne kombination tre af et bestemt antal sammen med et par af et andet nummer. Da Yahtzee involverer tilfældig rulning af terninger, kan dette spil analyseres ved at bruge sandsynlighed til at bestemme, hvor sandsynligt det er at rulle et fuldt hus i en enkelt rulle.

Vi begynder med at angive vores antagelser. Vi antager, at de anvendte terninger er retfærdige og uafhængige af hinanden. Dette betyder, at vi har et ensartet prøveområde, der består af alle mulige ruller af de fem terninger. Selvom spillet med Yahtzee tillader tre ruller, overvejer vi kun det tilfælde, at vi får et fuldt hus i en enkelt rulle.

Da vi arbejder med en uniformprøve plads, beregnes vores sandsynlighed til en beregning af et par tælleproblemer. Sandsynligheden for et fuldt hus er antallet af måder at rulle et fuldt hus på, divideret med antallet af resultater i prøveområdet.

Antallet af resultater i prøveområdet er ligetil. Da der er fem terninger, og hver af disse terninger kan have et af seks forskellige resultater, er antallet af resultater i prøveområdet 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Derefter beregner vi antallet af måder at rulle et fuldt hus på. Dette er et vanskeligere problem. For at have et fuldt hus har vi brug for tre af en slags terninger, efterfulgt af et par af en anden type terninger. Vi deler dette problem i to dele:

• Hvad er antallet af forskellige typer fulde huse, der kunne rulles?
• Hvad er antallet af måder, hvorpå en bestemt type fuldt hus kan rulles?

Når vi har kendt antallet til hver af disse, kan vi multiplicere dem sammen for at give os det samlede antal fulde huse, der kan rulles.

Vi begynder med at se på antallet af forskellige typer fulde huse, der kan rulles. Et hvilket som helst af numrene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 kunne bruges til de tre slags. Der er fem resterende numre for parret. Der er således 6 x 5 = 30 forskellige typer fuldt hus kombinationer, der kan rulles.

For eksempel kunne vi have 5, 5, 5, 2, 2 som en type fuldt hus. En anden type fuldt hus ville være 4, 4, 4, 1, 1. En anden endnu ville være 1, 1, 4, 4, 4, som er anderledes end det foregående fulde hus, fordi rollerne for firerne og dem er skiftet.

Nu bestemmer vi det forskellige antal måder at rulle et bestemt fuldt hus på. For eksempel giver hvert af følgende os det samme fulde hus på tre firere og to:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vi ser, at der er mindst fem måder at rulle et bestemt fuldt hus på. Er der andre? Selv hvis vi fortsat viser andre muligheder, hvordan ved vi, at vi har fundet dem alle?

Nøglen til at besvare disse spørgsmål er at indse, at vi har at gøre med et tælleproblem og bestemme, hvilken type tælleproblem, vi arbejder med. Der er fem positioner, og tre af disse skal udfyldes med en fire. Den rækkefølge, hvor vi placerer vores firere, betyder ikke noget, så længe de nøjagtige positioner er udfyldt. Når positionen af ​​firerne er bestemt, er placeringen af ​​dem automatisk. Af disse grunde er vi nødt til at overveje kombination af fem positioner taget tre ad gangen.

Vi bruger kombinationsformlen for at opnå C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Dette betyder, at der er 10 forskellige måder at rulle et givet fuldt hus.

At sammensætte alt dette sammen, og vi har vores antal fulde huse. Der er 10 x 30 = 300 måder at få et fuldt hus i én rulle.

Nu sandsynlighed for et fuldt hus er en simpel opdelingsberegning. Da der er 300 måder at rulle et fuldt hus i en enkelt rulle og der er 7776 ruller med fem terninger mulige, er sandsynligheden for at rulle et fuldt hus 300/7776, hvilket er tæt på 1/26 og 3,85%. Dette er 50 gange mere sandsynligt end at rulle en Yahtzee i en enkelt rulle.

Selvfølgelig er det meget sandsynligt, at den første rulle ikke er et fuldt hus. Hvis dette er tilfældet, har vi tilladelse til yderligere to ruller, der gør et fuldt hus meget mere sandsynligt. Sandsynligheden for dette er meget mere kompliceret at bestemme på grund af alle de mulige situationer, der skal overvejes.