Factorial (!) I matematik og statistik

I matematik, symboler, der har visse betydninger på det engelske sprog kan betyde meget specialiserede og forskellige ting. Overvej for eksempel følgende udtryk:

3!

Nej, vi brugte ikke udråbstegn for at vise, at vi er begejstrede for tre, og vi bør ikke læse den sidste sætning med vægt. I matematik er udtrykket 3! læses som "tre factorial" og er virkelig en kortvarig måde at betegne multiplikationen af ​​flere på hinanden følgende heltal.

Da der er mange steder i matematik og statistikker, hvor vi er nødt til at multiplicere tal sammen, er faktoriet ganske nyttigt. Nogle af de vigtigste steder, hvor det dukker op, er kombinatorik og sandsynlighed calculus.

Definitionen af ​​fabrikken er den for ethvert positivt heltal n, fabrikken:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Først vil vi se på et par eksempler på fabrikken med små værdier af n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
instagram viewer
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Som vi kan se, bliver fabrikken meget stor meget hurtigt. Noget, der kan virke lille, såsom 20! har faktisk 19 cifre.

Factorials er lette at beregne, men de kan være lidt trættende at beregne. Heldigvis har mange regnemaskiner en fabriksnøgle (se efter! symbol). Denne funktion af lommeregneren automatiserer multiplikationerne.

En anden værdi af fabrikken og en, som standarddefinitionen ovenfor ikke indeholder, er den af nul factorial. Hvis vi følger formlen, ville vi ikke nå frem til nogen værdi for 0!. Der er ingen positive heltal mindre end 0. Af flere grunde er det passende at definere 0! = 1. Faktoriet for denne værdi vises især i formlerne til kombinationer og permutationer.

Når man arbejder med beregninger, er det vigtigt at tænke over, før vi trykker på faktortasten på vores lommeregner. At beregne et udtryk som 100! / 98! der er et par forskellige måder at gå omkring på.

En måde er at bruge en lommeregner at finde begge 100! og 98!, så divider den ene ved den anden. Selvom dette er en direkte måde at beregne på, har det nogle vanskeligheder forbundet med det. Nogle regnemaskiner kan ikke håndtere udtryk så store som 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (Udtrykket 10¹⁵⁷ er en videnskabelig notation, der betyder, at vi ganges med 1 efterfulgt af 157 nuller.) Dette tal er ikke kun massivt, men det er også kun et skøn til den reelle værdi på 100!

En anden måde at forenkle et udtryk med factorials som den, der ses her, kræver overhovedet ikke en lommeregner. Vejen til at nærme sig dette problem er at erkende, at vi kan omskrive 100! ikke som 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, men i stedet for som 100 x 99 x 98! Udtrykket 100! / 98! bliver nu (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.