Gennem matematik og statistik er vi nødt til at vide, hvordan man tæller. Dette gælder især for nogle sandsynlighed problemer. Antag, at vi får i alt n forskellige objekter og ønsker at vælge r af dem. Dette berører direkte et område i matematik kendt som kombinatorik, som er studiet af tælling. To af de vigtigste måder at tælle disse på r genstande fra n elementer kaldes permutationer og kombinationer. Disse begreber er tæt knyttet til hinanden og let forvirrede.
Hvad er forskellen mellem en kombination og permutation? Den centrale idé er ordre. En permutation er opmærksom på den rækkefølge, vi vælger vores objekter. Det samme sæt objekter, men taget i en anden rækkefølge vil give os forskellige permutationer. Med en kombination vælger vi stadig r genstande fra i alt n, men ordren betragtes ikke længere.
Et eksempel på permutationer
For at skelne mellem disse ideer overvejer vi følgende eksempel: hvor mange permutationer der er af to bogstaver fra sættet {a, b, c}?
Her lister vi alle par af elementer fra det givne sæt, mens vi er opmærksomme på ordren. Der er i alt seks permutationer. Listen over alle disse er: ab, ba, bc, cb, ac og ca. Bemærk, at der som permutationer
ab og ba er forskellige, fordi i et tilfælde -en blev valgt først og i den anden -en blev valgt anden.Et eksempel på kombinationer
Nu skal vi besvare følgende spørgsmål: hvor mange kombinationer er der af to bogstaver fra sættet {a, b, c}?
Da vi har at gøre med kombinationer, er vi ikke mere interesserede i ordren. Vi kan løse dette problem ved at se tilbage på permutationerne og derefter fjerne dem, der indeholder de samme bogstaver. Som kombinationer, ab og ba betragtes som det samme. Der er således kun tre kombinationer: ab, ac og bc.
formler
I situationer, vi støder på med større sæt, er det for tidskrævende at liste alle mulige permutationer eller kombinationer og tælle slutresultatet. Heldigvis er der formler, der giver os antallet af permutationer eller kombinationer af n genstande taget r på et tidspunkt.
I disse formler bruger vi den korte ordbog n! hedder nfaktoriel. Fabrikken siger simpelthen at multiplicere alle positive hele tal mindre end eller lig med n sammen. Så for eksempel 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Per definition 0! = 1.
Antallet af permutationer af n genstande taget r ad gangen gives med formlen:
P(n,r) = n!/(n - r)!
Antallet af kombinationer af n genstande taget r ad gangen gives med formlen:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Formler på arbejdet
Lad os se på det første eksempel for at se formlerne på arbejdet. Antallet af permutationer for et sæt af tre objekter taget to ad gangen er angivet af P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Dette matcher nøjagtigt, hvad vi opnåede ved at liste alle permutationer.
Antallet af kombinationer af et sæt af tre objekter taget to ad gangen er givet af:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Igen stemmer dette nøjagtigt med det, vi så før.
Formlerne sparer bestemt tid, når vi bliver bedt om at finde antallet af permutationer i et større sæt. Hvor mange permutationer er der for eksempel af et sæt på ti objekter taget tre ad gangen? Det vil tage et stykke tid at liste alle permutationer, men med formlerne ser vi, at der ville være:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutationer.
Hovedideen
Hvad er forskellen mellem permutationer og kombinationer? Den nederste linje er, at i tællingssituationer, der involverer en ordre, skal permutationer bruges. Hvis ordren ikke er vigtig, skal kombinationer bruges.