Eksponentielle funktioner fortæl historierne om eksplosiv forandring. De to typer eksponentielle funktioner er eksponentiel vækst og eksponentielt henfald. Fire variabler (procentændring, tid, beløbet i begyndelsen af tidsperioden og beløbet ved slutningen af tidsperioden) spiller roller i eksponentielle funktioner. Brug en eksponentiel henfaldsfunktion til at finde beløbet i begyndelsen af tidsperioden.
Eksponentielt forfald
Eksponentielt henfald er den ændring, der sker, når et originalt beløb reduceres med en ensartet hastighed over en periode.
Her er en eksponentiel forfaldsfunktion:
y = en(1-b)x
- y: Det endelige beløb, der er tilbage efter forfaldet over en periode
- -en: Det oprindelige beløb
- x: Tid
- Forfaldsfaktoren er (1-b)
- Variablen b er procentdelen af faldet i decimalform.
Formål med at finde det oprindelige beløb
Hvis du læser denne artikel, er du sandsynligvis ambitiøs. Seks år fra nu, måske vil du forfølge en bachelor-grad på Dream University. Med en prismærke på 120.000 dollars fremkalder Dream University økonomiske natterror. Efter søvnløse nætter mødes du, mor og far med en finansiel planlægger. Dine forældres blodskårne øjne lyser op, når planlæggeren afslører, at en investering med en vækstrate på otte procent kan hjælpe din familie med at nå målet på $ 120.000. Studere hårdt. Hvis du og dine forældre investerer 75.620,36 $ i dag, bliver Dream University din virkelighed takket være eksponentielt forfald.
Sådan løses
Denne funktion beskriver investeringens eksponentielle vækst:
120,000 = -en(1 +.08)6
- 120.000: Restbeløb tilbage efter 6 år
- .08: Årlig vækstrate
- 6: Antallet af år, hvor investeringen vokser
- -en: Det oprindelige beløb, som din familie investerede
Takket være den symmetriske egenskab ved lighed, 120.000 = -en(1 +.08)6 er det samme som -en(1 +.08)6 = 120,000. Symmetrisk egenskab af ligestilling angiver, at hvis 10 + 5 = 15, så 15 = 10 + 5.
Hvis du foretrækker at omskrive ligningen med konstanten (120.000) til højre for ligningen, skal du gøre det.
-en(1 +.08)6 = 120,000
Indrømmet, ligningen ser ikke ud som en lineær ligning (6-en = $ 120.000), men det kan løses. Holde fast ved det!
-en(1 +.08)6 = 120,000
Løs ikke denne eksponentielle ligning ved at dividere 120.000 med 6. Det er et fristende matematiske nej.
1. Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle
-en(1 +.08)6 = 120,000
-en(1.08)6 = 120.000 (parenthesis)
-en(1,586874323) = 120.000 (eksponent)
2. Løs ved delende
-en(1.586874323) = 120,000
-en(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1-en = 75,620.35523
-en = 75,620.35523
Det oprindelige beløb, der skal investeres, er ca. $ 75.620.36.
3. Frys: Du er ikke færdig endnu; brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar
120,000 = -en(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (eksponent)
120.000 = 120.000 (Multiplikation)
Svar og forklaringer på spørgsmålene
Woodforest, Texas, en forstad til Houston, er fast besluttet på at lukke den digitale kløft i sit samfund. For et par år siden opdagede samfundsledere, at deres borgere var computer analfabeter. De havde ikke adgang til internet og blev lukket for informations-motorvejen. Lederne etablerede World Wide Web on Wheels, et sæt mobile computerstationer.
World Wide Web on Wheels har nået sit mål om kun 100 computeranlittere borgere i Woodforest. Samfundsledere studerede de månedlige fremskridt med World Wide Web on Wheels. I henhold til dataene kan tilbagegangen hos computer-analfabeter borgere beskrives ved følgende funktion:
100 = -en(1 - .12)10
1. Hvor mange mennesker er computer-analfabeter 10 måneder efter starten af World Wide Web on Wheels?
- 100 mennesker
Sammenlign denne funktion med den originale eksponentielle vækstfunktion:
100 = -en(1 - .12)10
y = en(1 + b)x
Det variabely repræsenterer antallet af computer-analfabeter i slutningen af 10 måneder, så 100 mennesker er stadig computer-analfabeter, efter at World Wide Web on Wheels begyndte at arbejde i samfundet.
2. Representerer denne funktion eksponentielt forfald eller eksponentiel vækst?
- Denne funktion repræsenterer eksponentielt henfald, fordi et negativt tegn sidder foran procentændringen (.12).
3. Hvad er den månedlige ændringsrate?
- 12 procent
4. Hvor mange mennesker var computer analfabeter for 10 måneder siden, da World Wide Web on Wheels blev startet?
- 359 mennesker
Brugrækkefølge af operationer at forenkle.
100 = -en(1 - .12)10
100 = -en(.88)10 (Parentes)
100 = -en(.278500976) (eksponent)
Del for at løse.
100(.278500976) = -en(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1-en
359.0651689 = -en
Brug rækkefølgen af handlinger til at kontrollere dit svar.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Parentes)
100 = 359.0651689 (.278500976) (eksponent)
100 = 100 (multiplicer)
5. Hvis disse tendenser fortsætter, hvor mange mennesker vil være computer-analfabeter 15 måneder efter starten af World Wide Web on Wheels?
- 52 mennesker
Tilføj det, du ved om funktionen.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Brug rækkefølgen af operationer til at finde y.
y = 359.0651689(.88)15 (Parentes)
y = 359.0651689 (.146973854) (eksponent)
y = 52,77319167 (Multiplicer).