Moment genererende funktion til binomial distribution

Gennemsnittet og variationen af ​​en tilfældig variabel x med en binomial sandsynlighedsfordeling kan være vanskeligt at beregne direkte. Selvom det kan være klart, hvad der skal gøres for at bruge definitionen af forventet værdi af x og x², er den faktiske udførelse af disse trin en vanskelig jonglering af algebra og summeringer. En alternativ måde at bestemme middelværdien og variansen for en binomial distribution er at bruge øjeblik genererende funktion til x.

Start med den tilfældige variabel x og beskrive Sandsynlighedsfordeling mere specifikt. Udføre n uafhængige Bernoulli-forsøg, som hver har sandsynlighed for succes p og sandsynlighed for fiasko 1 - p. Således er sandsynlighedsmassefunktionen

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Her udtrykket C(n, x) angiver antallet af kombinationer af n elementer taget x ad gangen, og x kan tage værdierne 0, 1, 2, 3,. .., n.

Brug denne sandsynlighedsmassefunktion til at opnå den øjeblik genererende funktion af x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Det bliver klart, at du kan kombinere vilkårene med eksponenten for x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Ved anvendelse af den binomiale formel er ovenstående udtryk endvidere simpelthen:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

For at finde betyde og varians, skal du vide begge dele M'(0) og M’’(0). Begynd med at beregne dine derivater, og evaluer derefter hver af dem på t = 0.

Du vil se, at det første derivat af den øjeblik genererende funktion er:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Fra dette kan du beregne gennemsnittet af sandsynlighedsfordelingen. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Dette svarer til det udtryk, som vi opnåede direkte fra definitionen af ​​middelværdien.

Beregningen af ​​variansen udføres på en lignende måde. Differentier først den øjeblik, der genererer funktionen, og derefter evaluerer vi denne derivat kl t = 0. Her ser du det

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

For at beregne variansen af ​​denne tilfældige variabel skal du finde M’’(t). Her har du M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Variansen σ² af din distribution er

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Selvom denne metode er lidt involveret, er den ikke så kompliceret som at beregne middelværdien og variansen direkte fra sandsynlighedsmassefunktionen.