Betinget sandsynlighed: Notation og eksempler

Et ligetil eksempel på betinget sandsynlighed er sandsynligheden for, at et kort trukket fra et standard kortstykke er en konge. Der er i alt fire konger ud af 52 kort, og derfor er sandsynligheden simpelthen 4/52. I forbindelse med denne beregning er følgende spørgsmål: "Hvad er sandsynligheden for, at vi trækker en konge i betragtning af det? vi har allerede trukket et kort fra bunken, og det er et ess? ”Her overvejer vi indholdet af bunken på kort. Der er stadig fire konger, men nu er der kun 51 kort i bunken. Sandsynligheden for at tegne en konge, da der allerede er trukket et ess, er 4/51.

Betinget sandsynlighed er defineret som sandsynligheden for en begivenhed i betragtning af at en anden begivenhed er sket. Hvis vi navngiver disse begivenheder EN og B, så kan vi tale om sandsynligheden for EN givet B. Vi kan også henvise til sandsynligheden for EN afhængig af B.

Notationen for betinget sandsynlighed varierer fra lærebog til lærebog. I alle notationer er indikationen, at sandsynligheden, vi refererer til, er afhængig af en anden begivenhed. En af de mest almindelige notationer for sandsynligheden for

Der er en formel for betinget sandsynlighed, der forbinder dette med sandsynligheden for EN og B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Grundlæggende hvad denne formel siger, er, at for at beregne den betingede sandsynlighed for begivenheden EN givet begivenheden B, ændrer vi vores prøveplads til kun at bestå af sættet B. Når vi gør dette, overvejer vi ikke hele begivenheden EN, men kun den del af EN der er også indeholdt i B. Sættet, vi netop har beskrevet, kan identificeres i mere kendte termer som vejkryds af EN og B.

Vi kan bruge algebra at udtrykke ovenstående formel på en anden måde:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Vi gennemgår eksemplet, vi startede med, i lyset af disse oplysninger. Vi vil gerne vide sandsynligheden for at tegne en konge, da der allerede er trukket et ess. Således begivenheden EN er at vi tegner en konge. Begivenhed B er, at vi tegner et ess.

Sandsynligheden for, at begge begivenheder sker, og at vi tegner et ess, og derefter svarer en konge til P (A ∩ B). Værdien af ​​denne sandsynlighed er 12/2652. Sandsynligheden for begivenhed B, at vi tegner et ess er 4/52. Således bruger vi den betingede sandsynlighedsformel og ser, at sandsynligheden for at tegne en konge, der er givet end et ess, er trukket er (16/2652) / (4/52) = 4/51.

For et andet eksempel vil vi se på sandsynlighedseksperimentet, hvor vi rulle to terninger. Et spørgsmål, som vi kunne stille, er: "Hvad er sandsynligheden for, at vi har rullet en tre, i betragtning af at vi har rullet en sum på mindre end seks?"

Her begivenheden EN er, at vi har rullet en tre, og begivenheden B er, at vi har rullet et beløb mindre end seks. Der er i alt 36 måder at rulle to terninger på. Ud af disse 36 måder kan vi rulle en sum mindre end seks på ti måder:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Der er nogle tilfælde, hvor den betingede sandsynlighed for EN givet begivenheden B er lig med sandsynligheden for EN. I denne situation siger vi, at begivenhederne EN og B er uafhængige af hinanden. Ovenstående formel bliver:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

og vi gendanner formlen, der for uafhængige begivenheder sandsynligheden for begge EN og B findes ved at multiplicere sandsynligheden for hver af disse begivenheder:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Når to begivenheder er uafhængige, betyder det, at den ene begivenhed ikke har nogen indflydelse på den anden. At vende en mønt og derefter en anden er et eksempel på uafhængige begivenheder. Den ene møntflip har ingen indflydelse på den anden.

Vær meget omhyggelig med at identificere hvilken begivenhed, der afhænger af den anden. Generelt P (A | B) er ikke lig med P (B | A). Det er sandsynligheden for EN givet begivenheden B er ikke det samme som sandsynligheden for B givet begivenheden EN.

I et eksempel ovenfor så vi, at i rullning af to terninger var sandsynligheden for at rulle en tre, da vi har rullet en sum på mindre end seks, 4/10. På den anden side, hvad er sandsynligheden for at rulle en sum under seks, da vi har rullet en tre? Sandsynligheden for at rulle en tre og en sum mindre end seks er 4/36. Sandsynligheden for at rulle mindst en tre er 11/36. Så den betingede sandsynlighed i dette tilfælde er (4/36) / (11/36) = 4/11.