Eksponentielle funktioner fortæller historierne om eksplosiv forandring. De to typer eksponentielle funktioner er eksponentiel vækst og eksponentielt forfald. Fire variabler - procentændring, tid, beløbet i begyndelsen af tidsperioden og beløbet ved slutningen af tidsperioden - spiller roller i eksponentielle funktioner. Denne artikel fokuserer på, hvordan man finder beløbet i begyndelsen af tidsperioden, -en.
Eksponentiel vækst
Eksponentiel vækst: ændringen, der sker, når en original mængde øges med en jævn hastighed over en periode
Eksponentiel vækst i det virkelige liv:
- Værdier for boligpriser
- Værdier for investeringer
- Øget medlemskab af et populært netværk på sociale netværk
Her er en eksponentiel vækstfunktion:
y = en(1 + b)x
- y: Restbeløb, der er tilbage over en periode
- -en: Det oprindelige beløb
- x: Tid
- Det vækstfaktor er (1 + b).
- Variablen, b, er procentvis ændring i decimalform.
Eksponentielt forfald
Eksponentielt henfald: ændringen, der sker, når et originalt beløb reduceres med en konsistent rente over en periode
Eksponentielt forfald i det virkelige liv:
- Afvisning af avis læserskab
- Nedgang i slagtilfælde i USA
- Antal mennesker, der er tilbage i en by med en orkan
Her er en eksponentiel forfaldsfunktion:
y = en(1-b)x
- y: Det endelige beløb, der er tilbage efter forfaldet over en periode
- -en: Det oprindelige beløb
- x: Tid
- Det forfaldsfaktor er (1-b).
- Variablen, b, er procentvis reduktion i decimalform.
Formål med at finde det oprindelige beløb
Seks år fra nu, vil du måske forfølge en bacheloruddannelse ved Dream University. Med en prismærke på 120.000 dollars fremkalder Dream University økonomiske natterror. Efter søvnløse nætter mødes du, mor og far med en finansiel planlægger. Dine forældres blodskårne øjne lyser op, når planlæggeren afslører en investering med en vækstrate på 8%, der kan hjælpe din familie med at nå målet på $ 120.000. Studere hårdt. Hvis du og dine forældre investerer 75.620,36 $ i dag, vil Dream University blive din realitet.
Sådan løses det oprindelige beløb for en eksponentiel funktion
Denne funktion beskriver investeringens eksponentielle vækst:
120,000 = -en(1 +.08)6
- 120.000: Restbeløb tilbage efter 6 år
- .08: Årlig vækstrate
- 6: Antallet af år, hvor investeringen vokser
- -en: Det oprindelige beløb, som din familie investerede
Antydning: Takket være den symmetriske egenskab ved lighed, 120.000 = -en(1 +.08)6 er det samme som -en(1 +.08)6 = 120,000. (Symmetrisk egenskab ved ligestilling: Hvis 10 + 5 = 15, så 15 = 10 +5.)
Hvis du foretrækker at omskrive ligningen med konstanten 120.000 til højre for ligningen, skal du gøre det.
-en(1 +.08)6 = 120,000
Indrømmet ser ikke ud som en lineær ligning (6-en = $ 120.000), men det kan løses. Holde fast ved det!
-en(1 +.08)6 = 120,000
Vær forsigtig: Løs ikke denne eksponentielle ligning ved at dele 120.000 med 6. Det er et fristende matematiske nej.
1. Brug Driftsorden at forenkle.
-en(1 +.08)6 = 120,000
-en(1.08)6 = 120.000 (parenthesis)
-en(1,586874323) = 120.000 (eksponent)
2. Løs ved at dele
-en(1.586874323) = 120,000
-en(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1-en = 75,620.35523
-en = 75,620.35523
Det oprindelige beløb eller det beløb, som din familie skal investere, er cirka $ 75.620,36.
3. Frys - du er ikke færdig endnu. Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
120,000 = -en(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (eksponent)
120.000 = 120.000 (Multiplikation)
Øvelsesøvelser: svar og forklaringer
Her er eksempler på, hvordan man løser det oprindelige beløb i betragtning af den eksponentielle funktion:
-
84 = -en(1+.31)7
Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle.
84 = -en(1.31)7 (Parentes)
84 = -en(6.620626219) (eksponent)
Del for at løse.
84/6.620626219 = -en(6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1-en
12.68762157 = -en
Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
84 = 12.68762157(1.31)7 (Parentes)
84 = 12.68762157 (6.620626219) (eksponent)
84 = 84 (Multiplikation) -
-en(1 -.65)3 = 56
Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle.
-en(.35)3 = 56 (parhesjon)
-en(.042875) = 56 (eksponent)
Del for at løse.
-en(.042875)/.042875 = 56/.042875
-en = 1,306.122449
Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
-en(1 -.65)3 = 56
1,306.122449(.35)3 = 56 (parhesjon)
1.306.122449 (.042875) = 56 (eksponent)
56 = 56 (Multiplicer) -
-en(1 + .10)5 = 100,000
Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle.
-en(1.10)5 = 100.000 (parenthesis)
-en(1.61051) = 100.000 (eksponent)
Del for at løse.
-en(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
-en = 62,092.13231
Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
62,092.13231(1.10)5 = 100.000 (parenthesis)
62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (eksponent)
100.000 = 100.000 (Multipliser) -
8,200 = -en(1.20)15
Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle.
8,200 = -en(1.20)15 (Eksponent)
8,200 = -en(15.40702157)
Del for at løse.
8,200/15.40702157 = -en(15.40702157)/15.40702157
532.2248665 = 1-en
532.2248665 = -en
Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
8,200 = 532.2248665(1.20)15
8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (eksponent)
8.200 = 8200 (Nå, 8.199.9999... Bare lidt af en afrundingsfejl.) (Multipliser.) -
-en(1 -.33)2 = 1,000
Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle.
-en(.67)2 = 1.000 (parhesjon)
-en(.4489) = 1.000 (eksponent)
Del for at løse.
-en(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
1-en = 2,227.667632
-en = 2,227.667632
Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
2,227.667632(.67)2 = 1.000 (parhesjon)
2.227.667632 (.4489) = 1.000 (eksponent)
1.000 = 1.000 (gang) -
-en(.25)4 = 750
Brug rækkefølgen af operationer for at forenkle.
-en(.00390625) = 750 (eksponent)
Del for at løse.
-en(.00390625)/00390625= 750/.00390625
1a = 192.000
a = 192.000
Brug rækkefølgen af operationer for at kontrollere dit svar.
192,000(.25)4 = 750
192,000(.00390625) = 750
750 = 750