Når man beskæftiger sig med sæt teori, er der en række operationer til at lave nye sæt ud af gamle. En af de mest almindelige sæt operationer kaldes krydset. Enkelt sagt, krydset mellem to sæt EN og B er sæt af alle elementer, som begge dele EN og B har til fælles.
Vi vil se på detaljer omkring skæringspunktet i sætteori. Som vi vil se, er nøgleordet her ordet "og".
Et eksempel
For et eksempel på, hvordan krydset mellem to sæt danner en nyt sæt, lad os overveje sætene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For at finde krydset mellem disse to sæt, er vi nødt til at finde ud af, hvilke elementer de har til fælles. Tallene 3, 4, 5 er elementer i begge sæt, derfor skæringspunkterne til EN og B er {3. 4. 5].
Notation for krydsning
Ud over at forstå begreberne angående sætteorioperationer er det vigtigt at kunne læse symboler, der bruges til at betegne disse operationer. Symbolet for kryds erstattes undertiden af ordet “og” mellem to sæt. Dette ord antyder den mere kompakte notation for et kryds, der typisk bruges.
Symbolet, der bruges til krydset mellem de to sæt EN og B er givet af EN ∩ B. En måde at huske, at dette symbol ∩ henviser til kryds, er at lægge mærke til dens lighed med en hovedstad A, der er en forkortelse for ordet "og".
For at se denne notation i handling, se ovenstående eksempel tilbage. Her havde vi sæt EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Så vi ville skrive den indstillede ligning EN ∩ B = {3, 4, 5}.
Kryds med det tomme sæt
En grundlæggende identitet, der involverer skæringspunktet, viser os, hvad der sker, når vi tager krydset mellem ethvert sæt med det tomme sæt, betegnet med # 8709. Det tomme sæt er det sæt uden elementer. Hvis der ikke er elementer i mindst et af de sæt, vi forsøger at finde krydset mellem, har de to sæt ingen elementer til fælles. Med andre ord krydset mellem ethvert sæt med det tomme sæt giver os det tomme sæt.
Denne identitet bliver endnu mere kompakt med brugen af vores notation. Vi har identiteten: EN ∩ ∅ = ∅.
Kryds med det universelle sæt
Hvad sker der for den anden ekstrem, når vi undersøger krydset mellem et sæt og det universelle sæt? Ligner hvordan ordet univers bruges i astronomi til at betyde alt, det universelle sæt indeholder ethvert element. Det følger, at hvert element i vores sæt også er et element i det universelle sæt. Krydset mellem ethvert sæt og det universelle sæt er således det sæt, vi startede med.
Igen redder vores notation til at udtrykke denne identitet mere kortfattet. For ethvert sæt EN og det universelle sæt U, EN ∩ U = EN.
Andre identiteter, der involverer skæringspunktet
Der er mange flere sæt ligninger, der involverer brugen af krydsoperationen. Selvfølgelig er det altid godt at øve sig ved hjælp af sprog i sætteori. For alle sæt EN, og B og D vi har:
- Refleksiv ejendom: EN ∩ EN =EN
- Kommutativ ejendom: EN ∩ B = B ∩ EN
- Associativ ejendom: (EN ∩ B) ∩ D =EN ∩ (B ∩ D)
- Distributiv ejendom: (EN ∪ B) ∩ D = (EN ∩ D)∪ (B ∩ D)
- DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)C = ENC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)C = ENC ∩ BC