Hvad er sandsynlighedsaksiomer?

En strategi i matematik er at starte med et par udsagn og derefter opbygge mere matematik ud fra disse udsagn. De første udsagn er kendt som aksiomer. En aksiom er typisk noget, der matematisk er indlysende. Fra en relativt kort liste over aksiomer bruges deduktiv logik til at bevise andre udsagn, kaldet sætninger eller forslag.

Området matematik, der er kendt som sandsynlighed, er ikke anderledes. Sandsynligheden kan reduceres til tre aksiomer. Dette blev først gjort af matematikeren Andrei Kolmogorov. Den håndfulde aksiomer, der er underliggende sandsynlighed, kan bruges til at udlede alt sorterer af resultater. Men hvad er disse sandsynlighedsaksiomer?

For at forstå aksiomerne for sandsynlighed, skal vi først diskutere nogle grundlæggende definitioner. Vi antager, at vi har et sæt resultater, der kaldes prøveområdet S. Dette prøveområde kan betragtes som det universelle sæt for den situation, vi studerer. Prøveområdet består af undergrupper kaldet begivenheder E₁, E₂,..., E_n.

Vi antager også, at der er en måde at tildele en sandsynlighed til enhver begivenhed E. Dette kan betragtes som en funktion, der har et sæt til et input, og en reelt antal som output. Sandsynligheden for begivenhedE betegnes med P(E).

Den første sandsynlighed for sandsynlighed er, at sandsynligheden for enhver begivenhed er et ikke-reelt tal. Dette betyder, at den mindste, som en sandsynlighed nogensinde kan være, er nul, og at den ikke kan være uendelig. Det sæt numre, som vi muligvis bruger, er reelle tal. Dette henviser til både rationelle tal, også kendt som brøk, og irrationelle tal, der ikke kan skrives som brøk.

En ting at bemærke er, at dette aksiom ikke siger noget om, hvor stor sandsynligheden for en begivenhed kan være. Aksiomet fjerner ikke muligheden for negative sandsynligheder. Det afspejler forestillingen om, at den mindste sandsynlighed, der er forbeholdt umulige begivenheder, er nul.

Den anden sandsynlighed for sandsynlighed er, at sandsynligheden for hele prøveområdet er en. Symbolisk skriver vi P(S) = 1. Implicit i dette aksiom er forestillingen om, at prøveområdet er alt muligt for vores sandsynlighedseksperiment, og at der ikke er nogen begivenheder uden for prøveområdet.

I sig selv sætter dette aksiom ikke en øvre grænse for sandsynligheden for begivenheder, der ikke er hele prøveområdet. Det afspejler, at noget med absolut sikkerhed har en sandsynlighed på 100%.

Den tredje sandsynlighed for sandsynlighed omhandler gensidigt eksklusive begivenheder. Hvis E₁ og E₂ er gensidigt eksklusivt, hvilket betyder, at de har et tomt skæringspunkt, og vi bruger U til at betegne unionen P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Axiomet dækker faktisk situationen med flere (endda antagelig uendelige) begivenheder, der hvert par er indbyrdes eksklusive. Så længe dette sker, sandsynlighed for unionen af begivenhederne er den samme som summen af ​​sandsynlighederne:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Selvom denne tredje aksiom muligvis ikke synes så nyttig, vil vi se, at kombineret med de to andre aksiomer er den ganske kraftig.

De tre aksiomer sætter en øvre grænse for sandsynligheden for enhver begivenhed. Vi betegner komplementet til begivenheden E ved E^C. Fra sætteori, E og E^C har et tomt kryds og er gensidigt eksklusivt. desuden E U E^C = S, hele prøveområdet.

Disse fakta kombineret med aksiomerne giver os:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Vi omorganiserer ovenstående ligning og ser det P(E) = 1 - P(E^C). Da vi ved, at sandsynligheder skal være ikke-negative, har vi nu, at en øvre grænse for sandsynligheden for en begivenhed er 1.

Ved at omarrangere formlen igen har vi P(E^C) = 1 - P(E). Vi kan også udlede af denne formel, at sandsynligheden for, at en begivenhed ikke finder sted, er en minus sandsynligheden for, at den forekommer.

Ovenstående ligning giver os også en måde at beregne sandsynligheden for den umulige begivenhed, betegnet med det tomme sæt. For at se dette skal du huske, at det tomme sæt er komplementet til det universelle sæt, i dette tilfælde S^C. Da 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), af algebra, vi har P(S^C) = 0.

Ovenstående er blot et par eksempler på egenskaber, der kan bevises direkte fra aksiomerne. Der er mange flere resultater med sandsynlighed. Men alle disse sætninger er logiske udvidelser fra de tre sandsynlighedsaksiomer.