Sandsynlighed for en lille lige i Yahtzee i en rulle

Yahtzee er et terningespil, der bruger fem standard seks-sidede terninger. På hver tur får spillerne tre ruller for at opnå flere forskellige mål. Efter hver rulle kan en spiller beslutte, hvilke af terningerne (hvis nogen), der skal tilbageholdes, og hvilke der skal rulles tilbage. Målene inkluderer en række forskellige slags kombinationer, hvoraf mange er hentet fra poker. Hver anden slags kombination er værd at have en anden mængde point.

To af de typer kombinationer, som spillerne skal rulle, kaldes straights: en lille lige og en stor lige. Ligesom pokerrettigheder består disse kombinationer af rækkefølgende terninger. Små lodrette beskæftiger fire af de fem terninger og store lodder Brug alle fem terninger. På grund af tilfældigheden i rulning af terninger kan sandsynligheden bruges til at analysere, hvor sandsynligt det er at rulle en lille lige i en enkelt rulle.

Vi antager, at de anvendte terninger er retfærdige og uafhængige af hinanden. Der er således et ensartet prøveområde bestående af alle mulige ruller af de fem terninger. Selvom

Da vi arbejder med en uniformprøve plads, beregnes vores sandsynlighed til en beregning af et par tælleproblemer. Sandsynligheden for en lille lige er antallet af måder at rulle en lille lige, divideret med antallet af resultater i prøveområdet.

Det er meget let at tælle antallet af resultater i prøveområdet. Vi kaster fem terninger, og hver af disse terninger kan have et af seks forskellige resultater. En grundlæggende anvendelse af multiplikationsprincippet fortæller os, at prøveområdet har 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 resultater. Dette nummer vil være nævneren af ​​de fraktioner, som vi bruger til vores sandsynlighed.

Derefter skal vi vide, hvor mange måder der er at rulle en lille lige. Dette er vanskeligere end at beregne størrelsen på prøveområdet. Vi begynder med at tælle, hvor mange straights der er mulige.

En lille lige er lettere at rulle end en stor lige, men det er sværere at tælle antallet af måder at rulle denne type lige. En lille lige består af nøjagtigt fire rækkefølge. Da der er seks forskellige ansigter på matrisen, er der tre mulige små linier: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} og {3, 4, 5, 6}. Problemet opstår ved at overveje, hvad der sker med det femte dø. I hvert af disse tilfælde skal den femte dyse være et tal, der ikke skaber en stor lige. For eksempel, hvis de første fire terninger var 1, 2, 3 og 4, kunne den femte matrice være noget andet end 5. Hvis den femte dør var en 5, ville vi have en stor lige i stedet for en lille lige.

Dette betyder, at der er fem mulige ruller, der giver de små lige {1, 2, 3, 4}, fem mulige ruller, der giver de små lige {3, 4, 5, 6} og fire mulige ruller, der giver den lille lige {2, 3, 4, 5}. Dette sidste tilfælde er forskelligt, fordi rullering af en 1 eller en 6 for den femte matrice vil ændre {2, 3, 4, 5} til en stor lige. Dette betyder, at der er 14 forskellige måder, som fem terninger kan give os en lille lige.

Nu bestemmer vi det forskellige antal måder at rulle et bestemt sæt terninger på, som giver os en lige. Da vi kun behøver at vide, hvor mange måder der er at gøre dette på, kan vi bruge nogle grundlæggende tællingsteknikker.

Af de 14 forskellige måder at opnå små lodrette er kun to af disse {1,2,3,4,6} og {1,3,4,5,6} sæt med forskellige elementer. Der er 5! = 120 måder at rulle hver i alt 2 x 5! = 240 små straights.

De andre 12 måder at have en lille lige er teknisk multisæt, da de alle indeholder et gentaget element. For et bestemt multisæt, såsom [1,1,2,3,4], tæller vi antallet af forskellige måder at rulle dette på. Tænk på terningerne som fem positioner i træk:

• Der er C (5,2) = 10 måder at placere de to gentagne elementer blandt de fem terninger.
• Der er 3! = 6 måder at arrangere de tre forskellige elementer på.

Ved multiplikationsprincippet er der 6 x 10 = 60 forskellige måder at rulle terningerne 1,1,2,3,4 i en enkelt rulle.

Der er 60 måder at rulle en sådan lille lige med netop denne femte matrice. Da der er 12 multisæt, der giver en anden liste over fem terninger, er der 60 x 12 = 720 måder at rulle en lille lige, hvor to terninger matcher.

I alt er der 2 x 5! + 12 x 60 = 960 måder at rulle en lille lige.

Nu er sandsynligheden for at rulle en lille lige en simpel opdelingsberegning. Da der er 960 forskellige måder at rulle en lille lige i en enkelt rulle og der er 7776 ruller med fem terninger muligt, er sandsynligheden for at rulle en lille lige 960/7776, som er tæt på 1/8 og 12.3%.

Selvfølgelig er det mere sandsynligt end ikke, at den første rulle ikke er en lige. Hvis dette er tilfældet, får vi tilladelse til yderligere to ruller, hvilket gør en lille lige meget mere sandsynlig. Sandsynligheden for dette er meget mere kompliceret at bestemme på grund af alle de mulige situationer, der skal overvejes.