I matematik, eksponentielt forfald beskriver processen med at reducere et beløb med en ensartet procentsats over en periode. Det kan udtrykkes ved formlen y = a (1-b)x hvori y er det endelige beløb, -en er det oprindelige beløb, b er forfaldsfaktoren, og x er den tid, der er gået.
Den eksponentielle henfaldsformel er nyttig i forskellige applikationer i den virkelige verden, især til sporing af inventar, der regelmæssigt bruges i det samme mængde (som mad til en skolekafeteria) og det er især nyttigt i dets evne til hurtigt at vurdere de langsigtede omkostninger ved brug af et produkt over tid.
Eksponentielt henfald adskiller sig fra lineært forfald ved at forfaldsfaktoren er afhængig af en procentdel af det oprindelige beløb, hvilket betyder det faktiske antal det originale beløb kan reduceres med vil ændre sig over tid, hvorimod en lineær funktion reducerer det originale antal med det samme beløb hver tid.
Det er også det modsatte af eksponentiel vækst, der typisk forekommer på aktiemarkederne, hvor et virksomheds værdi vil vokse eksponentielt over tid, før de når et plateau. Du kan sammenligne og kontrastere forskellene mellem eksponentiel vækst og forfald, men det er temmelig ligetil: den ene øger den oprindelige mængde og den anden reducerer den.
Elementer af en eksponentiel forfaldsformel
For at starte er det vigtigt at genkende den eksponentielle henfaldsformel og være i stand til at identificere hvert af dens elementer:
y = a (1-b)x
For korrekt at forstå nytten af forfaldsformlen er det vigtigt at forstå, hvordan hver af faktorerne er defineret, begyndende med udtrykket "forfaldsfaktor" - repræsenteret af brevet b i formlen for eksponentielt henfald - hvilket er en procentdel, hvormed det oprindelige beløb falder hver gang.
Det originale beløb her - repræsenteret af brevet -en i formlen — er det beløb, inden forfaldet finder sted, så hvis du overvejer dette i praktisk forstand, er det oprindelige beløb ville være mængden af æbler, et bageri køber, og den eksponentielle faktor er den procentdel af æbler, der bruges hver time til at fremstille tærter.
Eksponenten, der i tilfælde af eksponentielt henfald altid er tid og udtrykkes med bogstavet x, repræsenterer hvor ofte forfaldet forekommer og normalt udtrykkes i sekunder, minutter, timer, dage eller flere år.
Et eksempel på eksponentielt henfald
Brug følgende eksempel til at hjælpe med at forstå begrebet eksponentielt forfald i et ægte scenarie:
Mandag betjener Ledwith's Cafeteria 5.000 kunder, men tirsdag formiddag rapporterer de lokale nyheder, at restauranten svigter sundhedsinspektion og har - yikes! - overtrædelser i forbindelse med skadedyrskontrol. Tirsdag betjener kantinen 2.500 kunder. Onsdag betjener kantinen kun 1.250 kunder. Torsdag betjener cafeteriaet et uheldigt 625 kunder.
Som du kan se, faldt antallet af kunder med 50 procent hver dag. Denne type tilbagegang adskiller sig fra en lineær funktion. I en lineær funktion, vil antallet af kunder falde med det samme beløb hver dag. Det oprindelige beløb (-en) ville være 5.000, forfaldsfaktoren (b ) ville derfor være 0,5 (50 procent skrevet som en decimal) og tidsværdien (x) bestemmes af, hvor mange dage Ledwith ønsker at forudsige resultaterne for.
Hvis Ledwith skulle spørge, hvor mange kunder han ville miste om fem dage, hvis trenden fortsatte, ville hans regnskabsfører kunne finde løsningen ved at tilslutte alle ovenstående tal til den eksponentielle henfaldsformel for at få følge:
y = 5000 (1-5)5
Løsningen kommer ud på 312 og en halv, men da du ikke kan have en halv kunde, ville regnskabsfører afrunde antallet op til 313 og kunne sige, at Ledwith om fem dage kunne forvente at miste yderligere 313 kunder!