"Quasiconcave" er et matematisk koncept, der har flere anvendelser inden for økonomi. For at forstå betydningen af udtrykets anvendelser i økonomi er det nyttigt at starte med en kort overvejelse af oprindelsen og betydningen af begrebet i matematik.
Origins of the Term
Udtrykket "quasiconcave" blev introduceret i den tidlige del af det 20. århundrede i værket af John von Neumann, Werner Fenchel og Bruno de Finetti, alle fremtrædende matematikere med interesser i både teoretisk og anvendt matematik, Deres forskning inden for områder som sandsynlighedsteori, spilteori og topologi til sidst lagde grunden til et uafhængigt forskningsfelt kendt som "generaliseret konveksitet." Mens udtrykket "quasiconcave: har applikationer på mange områder, inklusive økonomi, det har sin oprindelse i området generaliseret konveksitet som et topologisk koncept.
Definition af topologi
Wayne State Mathematics Professor Robert Bruners korte og læsbare forklaring af topologi begynder med forståelsen af, at topologi er en særlig form for
geometri. Hvad der adskiller topologi fra andre geometriske undersøgelser er, at topologi behandler geometriske figurer som værende i det væsentlige ("topologisk") ækvivalent, hvis du ved at bøje, vri og på anden måde forvrænge dem, kan du forvandle en til den anden.Dette lyder lidt mærkeligt, men overvej, at hvis du tager en cirkel og begynder at klemme fra fire retninger, kan du producere en firkant med omhyggelig squash. Således er en firkant og en cirkel topologisk ækvivalente. På samme måde, hvis du bøjer den ene side af en trekant, indtil du har oprettet et andet hjørne et eller andet sted langs den side, med mere bøjning, skubning og trækning, kan du forvandle en trekant til en firkant. Igen er en trekant og en firkant topologisk ækvivalente.
Quasiconcave som en topologisk egenskab
Quasiconcave er en topologisk egenskab, der inkluderer konkavitet. Hvis du tegner en matematisk funktion, og grafen ligner mere eller mindre en dårligt lavet skål med et par stød i det, men har stadig en depression i midten og to ender, der vipper opad, det er en quasiconcave-funktion.
Det viser sig, at en konkav funktion kun er et specifikt eksempel på en quasiconcave-funktion - en uden bulerne. Fra en lægmands perspektiv (en matematiker har en mere streng måde at udtrykke det på) en quasiconcave-funktion inkluderer alle konkave funktioner og også alle funktioner, der generelt er konkave, men som muligvis har sektioner, der faktisk er konveks. Igen, forestil dig en dårligt lavet skål med et par stød og fremspring i den.
Anvendelser inden for økonomi
En måde at matematisk repræsentere forbrugerpræferencer (såvel som mange andre adfærd) er med en hjælpefunktion. Hvis for eksempel forbrugere foretrækker god A frem for god B, udtrykker hjælpefunktionen U denne præference som:
U (A)> U (B)
Hvis du tegner denne funktion ud for et reelt sæt af forbrugere og varer, kan du opleve, at grafen ligner en skål - snarere end en lige linje, der er en sag i midten. Denne sag repræsenterer generelt forbrugernes modvilje mod risiko. I den virkelige verden er denne modvilje ikke ensartet: Grafen over forbrugerpræferencer ligner lidt en ufuldkommen skål, en med et antal stød i sig. I stedet for at være konkave, er det generelt konkave, men ikke perfekt så på hvert punkt i grafen, som kan have mindre dele af konveksitet.
Med andre ord er vores eksempelgraf over forbrugerpræferencer (ligesom mange eksempler i den virkelige verden) quasiconcave. De fortæller enhver, der ønsker at vide mere om forbrugeradfærd - økonomer og virksomheder, der for eksempel sælger forbrugsvarer - hvor og hvordan kunder reagerer på ændringer i gode mængder eller omkostninger.